零知识证明 - 从QSP到QAP

程序员，大多数时间在学习和训练逻辑推理的质量和速度，以逻辑清晰，明了为目标。随着年龄的增长，身体的各方面的机能的下降，逻辑推理和组织的能力也会下降。正是这种下降，给程序员带来了无限的焦虑，赖于“生存”的快速逻辑推理能力不再是优势。学会积累，学会“延迟满足”和”复利效应“，是治愈的良药。积累，也就是让自己理解的逻辑能在时间维度上，让更多人获得帮助。

前一段时间，介绍了零知识证明的入门知识，通过 QSP 问题证明来验证另外一个 NP 问题的解。最近在看 QAP 问题相关的文章和资料，这篇文章分享一下 QAP 问题的理解。

背景介绍

QSP/QAP 问题的思想都是出自 2012 年一篇论文：Quadratic Span Programs and Succinct NIZKs without PCPs

这篇论文提出了使用 QSP/QAP 问题，而不使用 PCP 方式，实现零知识证明。

术语介绍

• SP - Span Program ，采用多项式形式实现计算的验证。
• QSP - Quadratic Span Program，QSP 问题，实现基于布尔电路的 NP 问题的证明和验证。
• QAP - Quadratic Arithmetic Program，QAP 问题，实现基于算术电路的 NP 问题的证明和验证，相对于 QSP，QAP 有更好的普适性。
• PCP - Probabilistically Checkable Proof ，在 QSP 和 QAP 理论之前，学术界主要通过 PCP 理论实现计算验证。PCP 是一种基于交互的，随机抽查的计算验证系统。
• NIZK - Non-Interactive Zero-Knowledge，统称，无交互零知识验证系统。NIZK 需要满足三个条件：1/ 完备性(Completeness)，对于正确的解，肯定存在相应证明。 2/可靠性 (Soundness) ，对于错误的解，能通过验证的概率极低。3/ 零知识。
• SNARG - Succinct Non-interactive ARGuments，简洁的无须交互的证明过程。
• SNARK - Succinct Non-interactive ARgumentss of Knowledge，相比 SNARG，SNARK 多了 Knowledge，也就是说，SNARK 不光能证明计算过程，还能确认证明者“拥有”计算需要的 Knowledge（只要证明者能给出证明就证明证明者拥有相应的解）。
• zkSNARK - zero-knowledge SNARK，在 SNARK 的基础上，证明和验证双方除了能验证计算外，验证者对其他信息一无所知。
• Statement - 对于 QSP/QAP，和电路结构本身（计算函数）相关的参数。比如说，某个计算电路的输入/输出以及电路内部门信息。Statement 对证明者和验证者都是公开的。
• Witness - Witness 只有证明者知道。可以理解成，某个计算电路的正确的解（输入）。

QAP 问题的定义

QAP 的定义和 QSP 的定义有些相似（毕竟都是一个思想理论的两种形式）。论文中给出了 QAP 的一般定义和强定义。QAP 的强定义如下：

QAP 问题是这样一个 NP 问题：给定一系列的多项式，以及给定一个目标多项式，找出多项式的组合能整除目标多项式。输入为 n 位的 QAP 问题定义如下：

• 给定多个多项式： $v_0, ... , v_m, w_0, ... , w_m, y_0, ... , y_m$
• 目标多项式： $t$
• 映射函数： $$ f: \left{(i, j) |1\leq i \leq n, j\in{0,1} \right} \to \left{1, ... m\right} $$

给定一个证据（Witness）u，满足如下条件，即可验证 u 是 QAP 问题的解：

• $$ a_k, b_k, c_k = 1\ \ 如果 k = f(i, u[i]) $$
• $$ a_k, b_k, c_k = 0\ \ 如果 k = f(i, 1- u[i]) $$
• $$ (v0(x) + \sum{k=1}^m a_k \cdot v_k(x)) \cdot (w0(x) + \sum{k=1}^m b_k \cdot w_k(x)) - (y0(x) + \sum{k=1}^m c_k \cdot y_k(x)) 能整除 t(x) $$

对一个证据 u，对每一位进行两次映射计算（ $u[i]$ 以及 1-u[i] ），确定多项式之间的系数（$ a_1,..,a_m,,和 b_1,.., b_m,以及 c_1, .., c_m$ 相等）。

算术电路

算术电路可以简单看成由如下的三种门组成：加门，系数乘法门以及通用乘法门（减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法）。Vitalik 在 2016 年写过的QAP介绍，深入浅出的解释 NP 问题的算术电路生成和 QAP 问题的转化，推荐大家都读一读。

以 Vitalik 文章中的例子为例，算术逻辑（ $x^3 + x + 5$ ）对应的电路如下图所示：

QAP 问题的转化

把一个算术电路转化为 QAP 问题的过程，其实就是将电路中的每个门描述限定的过程，也就是所谓的 R1CS （Rank-1 constraint system）。

算术电路拍平

算术电路拍平，就是用一组向量定义算术电路中的所有的变量（包括一个常量变量）。比如 2 中所示的电路，拍平之后的向量表示为 $[one, x, out, sym_1, y, sym_2 ]$ ，其中 one 代表常量变量，x 代表输入，out 代表输出，其他是中间门电路的输出。

假设一个合理的电路向量值为 $s - [s_0, s_1, s_2, s_3, s_4, s_5]$ 。

门描述

对于每个电路中的门进行描述，说清输入以及输出，采用

$$ s \cdot a* s \cdot b - s \cdot c = 0 $$

的形式，其中 $a,b,c$ 都是和电路向量长度一致的向量值。 $s \cdot a, s \cdot b, s \cdot c$ 都是点乘。这种形式表达的是“乘法门”。可以简单的理解， $a, b, c和s$ 的点乘就是“挑选”向量中的变量，查看挑选出的变量是否满足 $A * B = C$ 。

各个门对应的 $a, b, c$ 的向量值如下：

门 1 (查看 $x * x 是否等于 sym_1$ ）：

$a = [0, 1, 0, 0, 0, 0]$

$b = [0, 1, 0, 0, 0, 0]$

$c = [0, 0, 0, 1, 0, 0]$

门 2 (查看 $sym_1 * x 是否等于 y$ ）：

$a = [0, 0, 0, 1, 0, 0]$

$b = [0, 1, 0, 0, 0, 0]$

$c = [0, 0, 0, 0, 1, 0]$

门 3 (查看 $(x + y)*1 是否等于 sym_2$ ）：

$a = [0, 1, 0, 0, 1, 0]$

$b = [1, 0, 0, 0, 0, 0]$

$c = [0, 0, 0, 0, 0, 1]$

门 4 (查看 $(5x + sym_2) * 1 是否等于out$ ）：

$a = [5, 0, 0, 0, 0, 1]$

$b = [1, 0, 0, 0, 0, 0]$

$c = [0, 0, 1, 0, 0, 0]$

多项式表达

在门电路描述的基础上，将所有的门电路，转化为多项式表达。将 $a, b, c$ 中的每个系数，看成一个多项式的结果（以 a 为例）： $a = [f_0(x), f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x)]$ 。

针对门 1/门 2/门 3/门 4， $f_0(x), f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x)$ 的取值不同。比如说：门 1 的 a 的 $f_0(x)$ 为 0，门 2 的 a 的 $f_0(x)$ 为 0，门 3 的 a 的 $f_0(x)$ 为 0，门 4 的 a 的 $f_0(x)$ 为 5。

设定门 1 对应的 x 为 1，门 2 对应的 x 为 2，门 3 对应的 x 为 3，门 4 对应的 x 为 4 的话（这些值可以任意指定），会得到如下的等式：

$f_0(1) = 0, f_0(2) = 0, f_0(3)=0, f_0(4)=5$

在获知一系列的输入和输出的前提下，可以通过拉格朗日定理，获取多项式表达式。小伙伴可以通过这个工具计算多项式。

也就是说，a 的 $f_0(x) = -5 + 9.167x + -5x^2 + 0.833x^3$ 。同样的方式，可以算其他参数的 $f_0(x), f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x)$ 。再把这些多项式代入

$$ s \cdot a* s \cdot b - s \cdot c = 0 $$

，在正确的 $s$ 向量值的情况下，1/2/3/4 能让等式成立，也就是说，多项式 $s \cdot a* s \cdot b - s \cdot c$ 能整除 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 。这样，一个算术电路就转化为了 QAP 问题。

QAP 问题的 zkSNARK 证明

QAP 问题的 zkSNARK 证明过程和 QSP 有点类似。skSNARK 证明过程分为两部分：a) setup 阶段 b）证明阶段。QAP 问题就是给定一系列的多项式 $v_0, ..., v_m, w_0, ..., w_m, y_0, ... , y_m$ 以及目标多项式 $t$ ，证明存在一个证据 $u$ 。这些多项式中的最高阶为 $d$ 。

setup 和 CRS

CRS - Common Reference String，也就是预先 setup 的公开信息。在选定 $s$ 和 $\alpha$ 的情况下，发布如下信息：

• $s$ 和 $\alpha$ 的计算结果

  $(s^0), E(s^1), ... , E(s^d)$

  $E(\alpha s^0), E(\alpha s^1), ... , E(\alpha s^d)$

• 多项式的 $\alpha$ 对的计算结果 $E(t(s)), E(\alpha t(s))$

  $E(v_0(s)), ... E(v_m(s)), E(\alpha v_0(s)), ..., E(\alpha v_m(s))$

  $E(w_0(s)), ... E(w_m(s)), E(\alpha w_0(s)), ..., E(\alpha w_m(s))$

  $E(y_0(s)), ... E(y_m(s)), E(\alpha y_0(s)), ..., E(\alpha y_m(s))$

• 多项式的 $\beta_v, \beta_w, \beta_y, \gamma$ 参数的计算结果 $E(\gamma), E(\beta_v\gamma), E(\beta_w\gamma), E(\beta_y\gamma)$

  $E(\beta_vv_1(s)), ... , E(\beta_vv_m(s))$

  $E(\beta_ww_1(s)), ... , E(\beta_ww_m(s))$

  $E(\beta_yy_1(s)), ... , E(\beta_yy_m(s))$

  $E(\beta_vt(s)), E(\beta_wt(s)), E(\beta_yt(s))$

证明者提供证据

在 QAP 的映射函数中，如果 2n < m ，1, ..., m中有些数字没有映射到。这些没有映射到的数字组成 $I_{free}$ ，并定义（ $k$ 为未映射到的数字）：

$v_{free}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$

证明者需提供的证据如下：

• $V{free} := E(v{free}(s)), \ W := E(w(s)), \ Y := E(y(s)), \ H := E(h(s)),$
• $V{free}' := E(\alpha v{free}(s)), W' := E(\alpha w(s)), Y' := E(\alpha y(s)), H' := E(\alpha h(s)), $
• $P := E(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))$

$V{free}/V{free}', W/W', Y/Y', H/H' 是 \alpha 对，用以验证v{free},w,y,h 是否是多项式形式。 $ $ t 是已知，公开的，毋需验证， P 用来确保 v{free}(s), w(s) 和 y(s)的计算采用一致的参数。$

验证者验证

在QAP的映射函数中，如果2n < m，1, ..., m中所有映射到的数字作为组成系数组成的二项式定义为（和$v_{free}$互补）：

$v_{in}(x) = \sum_k a_kv_k(x)$

验证者需要验证如下的等式是否成立：

• $e(V{free}', g) = e(V{free}, g^\alpha), e(W', E(1)) = e(W, E(\alpha)), e(Y', E(1)) = e(Y, E(\alpha)), e(H', E(1)) = e(H, E(\alpha))$
• $e(E(\gamma), P) = e(E(\betav\gamma), V{free})e(E(\beta_w\gamma), W)e(E(\beta_y\gamma), Y)$
• $e(E(v0(s))E(v{in}(s))V_{free}, E(w_0(s))W) = e(H, E(t(s)))e(y_0(s)Y, E(1))$

第一个（系列）等式验证$V{free}/V'{free}, W/W', Y/Y', H/H'是否是\alpha对$。

第二个等式验证$V{free}, W, Y$的计算采用一致的参数。因为$v{free}, w, y$都是二项式，它们的和也同样是一个多项式，所以采用$\gamma$ 参数进行确认。证明过程如下：

$e(E(\gamma), P) = e(E(\gamma), E(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))) = e(g, g)^{\gamma(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))}$

$e(E(\betav\gamma), V{free})e(E(\beta_w\gamma), W)e(E(\beta_y\gamma), Y) = e(E(\betav\gamma), E(v{free}(s)))e(E(\beta_w\gamma), E(w(s)))e(E(\beta_y\gamma), E(y(s)))$

$= e(g,g)^{(\betav\gamma)v{free}(s)}e(g,g)^{(\beta_w\gamma)w(s)}e(g,g)^{(\beta_y\gamma)y(s)}= e(g, g)^{\gamma(\betavv{free}(s) + \beta_ww(s) + \beta_yy(s))}$

第三个等式验证$v(s)w(s) - y(s) = h(s)t(s)$，其中$v0(s)+v{in}(s)+v_{free}(s) = v(s)$。

简单的说，逻辑是确认$v, w, y, h$是多项式，并且$v,w,y$采用同样的参数，满足$v(s)w(s)- y(s)= h(s)t(s)$。

到目前为止，整个QAP的zkSNARK的证明过程逻辑已见雏形。

$\delta $ 偏移

为了进一步“隐藏” $V{free}, W, Y$，额外需要采用两个偏移: $\delta{free}, \delta_w 和 \deltay$。 $v{free}(s)/w(s)/y(s)/h(s)$进行如下的变形，验证者用同样的逻辑验证。

$v{free}(s) \rightarrow v{free}(s) + \delta_{free}t(s)$ $w(s) \rightarrow w(s) + \delta_wt(s)$ $y(s) \rightarrow y(s) + \deltayt(s)$ $h(s) \rightarrow h(s)+\delta{free}(w_0(s) + w(s)) + \delta_w(v0(s) + v{in}(s) + v{free}(s)) + (\delta{free}\delta_w)t(s) - \delta_y$

总结：

QAP和QSP问题类似。QSP问题主要用于布尔电路计算表达，QAP问题主要用于算术电路计算表达。将一个算术电路计算转化为QAP问题的过程，其实就是对电路中每个门电路进行描述限制的过程。通过朗格朗日定理，实现算术电路的多项式表达。QAP问题的zkSNARK的证明验证过程和QSP非常相似。

本文作者 Star Li，他的公众号星想法有很多原创高质量文章，欢迎大家扫码关注。