Curve StableSwap中的get D()和get y()

这篇文章逐步展示了 get_D() 和 get_y() 的代码是如何从 StableSwap 不变式推导而来的。

给定 StableSwap 不变式：

$$ A \cdot n \sum x_i + D = A \cdot n \cdot D + D^{n+1} \cdot n \prod x_i $$

我们希望对其进行两种常见的数学操作：

1. 在 A 和储备 x1,…,xn 的固定值的情况下计算 D。请注意，n，即池支持的代币数量，在池部署时是固定的。这正是函数 get_D() 的作用。
2. 给定 D，我们希望将一个储备 xi 的值增加到一个新值 xi'，并计算另一个储备 xj 需要减少多少，以保持方程的平衡。这正是函数 get_y() 的作用。在这里，“y”指的是 xi'。

在 Curve StableSwap 中，这些操作分别称为 get_D() 和 get_y()。

get_D() 的目标

在 Curve V1 (StableSwap) 中，D 类似于 Uniswap V2 中的 k — D 越大，储备就越多，价格曲线的“外推”越远。流动性添加或移除后，或者费用更改池余额后，D 会改变并需要重新计算。这就是函数 get_D() 的用途。给定当前储备的池，它计算 D。

如果一个曲线池持有两个代币 x 和 y，StableSwap 不变式为

$$ 4A(x+y) + D = 4AD + D^{3/4}xy $$

在我们讨论的情况下，“增幅因子” A 可以视为一个常数。

get_y() 的目标

get_y() 函数在交换过程中使用。与 Uniswap V2 中的 k 类似，交换过程中必须保持 D 为常数（忽略费用）。具体来说，给定 x 的新值，它计算出保持方程平衡的 y 的值。因此，它是计算“如果我将这数额的代币 x 放入池中，我可以取出多少代币 y?”的一个重要子程序。

Curve 可以在池中持有超过 2 个代币（例如 3pool 持有 USDT、USDC 和 DAI）。Curve 通过一个数组中的索引来识别这些代币。因此，在这种情况下，x 和 y 指的是该数组中的特定代币。在这个上下文中，get_y() 意味着改变特定代币 x 的余额，同时保持其他余额不变，但允许另一个代币 y 的价值变化。然后，在给定特定的 x 变动后，计算 y 如何变化以保持不变式平衡。

n 个代币的恒等式为：

$$ A \cdot n \sum x_i + D = A \cdot n \cdot D + D^{n+1} \cdot n \prod x_i $$

为简单起见，本文接下来将使用 S 代替求和，使用 P 代替乘积，因此不变式变为：

$$ A \cdot n S + D = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P $$

其中 S 是代币余额的总和（$x_0 + x_1 + … + x_n$），P 是余额的乘积（$x_0 x_1 … x_n$），而 $x_i$ 是代币 $i$ 的余额。

在 白皮书 中，S 被写作 $\sum x_i$，而 P 被写作 $\prod x_i$。白皮书中的方程复制如下：

$$ A \cdot n \sum x_i + D = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n \prod x_i $$

我们将使用 S 和 P 来代替求和和乘积符号。

我们假设池可以保存任意数量的 n 个代币，因此公式将反映这一点。然而，实际上，n 必须很小，否则 $D^{n+1}$ 项可能会发生溢出。

使用 get_D() 计算 D

在 get_D() 中，我们得到了一组余额 $x_0, x_1, ..., x_n$，我们要计算 D。

不可能代数求解

$$ A \cdot n S + D = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P $$

来找出 D。相反，我们需要应用Newton方法来数值解它。为此，我们创建一个函数 f(D)，当方程平衡时它等于0。

$$ 0 = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P - D - A \cdot n S $$

$$ 0 = D^{n+1} \cdot n P + A \cdot D^{n} - D - A \cdot n S $$

$$ f(D) = D^{n+1} \cdot n P + A \cdot n D - D - A \cdot n S $$

然后我们对 D 计算导数 $f'(D)$：

$$ f'(D) = (n+1) D^{n} \cdot n P + A \cdot n - 1 $$

Newton 方法公式

我们可以通过下列公式迭代求解 D：

$$ D_{\text{next}} = D - \frac{f(D)}{f'(D)} $$

将 $f'(D)$ 表示为 D 的分母会比较有用。首先，我们将左侧分数的上下乘以 D。

$$ f'(D) = (n+1) \frac{D^{n+1} \cdot n P}{D} + A \cdot n - 1 $$

然后，将 $f'(D)$ 合并为单个分数：

$$ f'(D) = \frac{(n+1) D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D}{D} $$

我们可以重写 Newton 方法，使其具有相同的分母：

$$ D_{\text{next}} = D - \frac{f(D)}{f'(D)} $$ $$ = \frac{D \cdot f'(D)}{f'(D)} - \frac{f(D)}{f'(D)} $$ $$ = \frac{D \cdot f'(D) - f(D)}{f'(D)} $$

通过将前面得到的 $f(D)$ 和 $f'(D)$ 代入重写过的 Newton 方法公式，我们得到：

$$ = \frac{D(n+1)D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D - (D^{n+1} \cdot n P + A \cdot n D - D - A \cdot n S)}{(n+1)D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D} $$

因为我们重新安排了 $f'(D)$ 以使D 作为分母，所以 $Df'(D)$ 项将很好地相消：

$$ = \frac{(n+1)D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D - (D^{n+1} \cdot n P + A \cdot n D - D - A \cdot n S)}{(n+1)D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D} $$

$$ = \frac{(n+1)D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D - (D^{n+1} \cdot n P + A \cdot n D - D - A \cdot n S)}{(n+1)D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D} $$

$$ = \frac{nD^{n+1} \cdot n P + A \cdot n S}{(n+1)D^{n+1} \cdot n P + (A \cdot n - 1)D} $$

我们将分子和分母都乘以 D：

$$ = \frac{(A \cdot n S + nD^{n+1} \cdot n P)D}{(A \cdot n - 1)D + (n+1)D^{n+1} \cdot n P} $$

如果我们定义 $D_P$ 为

$$ D_P = D^{n+1} \cdot n P $$

并替换 $D_P$，我们得到：

$$ D_{\text{next}} = \frac{(A \cdot n S + nD_P) D}{(A \cdot n - 1)D + (n+1)D_P} $$

与原始源代码的比较

这与在 Vyper 代码 中的内容完全匹配：

变量 D_P 被定义为：

D_P: uint256 = D # D_P = S

for _x in xp:
    D_P = D_P * D / (_x * N_COINS)

xp 是代币的数量，因此循环将运行 n 次。因此，我们在分母中得到了 D 自身乘以 n 次。

$$ DP = D^{n+1} \cdot n \prod{i=1}^{n} x_i $$

使用 get_y() 计算 y

这个想法是我们强制其中一个 $x_i$ 采取一个新值（代码称之为 x），并计算出另一个 $x_j$（其中 i≠j）的正确值，使方程保持平衡。其他代币的余额保持不变。$x_j$ 被称为 $y$。

尽管 StableSwap 池可以有多个代币，但一次只能使用 get_y() 交换两个代币。

同样地，我们有相同的不变式：

$$ A \cdot n S + D = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P $$

D、A 和 n 是固定的，但我们将改变 S 和 P 中的两个值。

$$ S = x_0 + x_1 + … + x_n \ P = x_0 x_1 … x_n $$

因此，我们需要稍微调整公式，因为 S 和 P 包含我们正在计算的值。

• S' 将是所有余额的总和_除了_我们试图求解的代币 $x_i$ 的新余额。
• P 将是所有代币余额的乘积，_除了_我们试图求解的代币。

换句话说：

$$ S = S' + y \ P = P' \cdot y $$

为了与代码保持一致，我们将称我们正在尝试计算其新余额的代币为 $y$。

则公式变为：

$$ A \cdot n (S' + y) + D = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y $$

同样，我们得出一个 f(y)，当方程平衡时它会为0，以及关于 y 的导数：

$$ f(y) = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n(S' + y) \ f'(y) = -D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n $$

这里再次是 Newton 方法的公式：

$$ y_{\text{next}} = y - \frac{f(y)}{f'(y)} $$

在将 $f(y)$ 和 $f'(y)$ 代入 Newton 方法后，我们得到：

$$ y_{\text{next}} = y - \frac{A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n(S' + y)}{-D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n} $$

把 -1 移到分母外面：

$$ y_{\text{next}} = y - \frac{1}{\left(-A \cdot D^{n} - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y + A \cdot n(S' + y)\right)}{D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 + A \cdot n} $$

再次对 y 乘以分数，使其具有相同的分母：

$$ y_{\text{next}} = y + \frac{A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n(S' + y)}{D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 + A \cdot n} $$

$$ y_{\text{next}} = y \cdot \left(D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 + A \cdot n\right) + (A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n(S' + y)) - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n $$

将 y 分配到左侧项中：

$$ y_{\text{next}} = y \cdot \left(D^{n+1} \cdot n P' + A \cdot n y + A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n S' - A \cdot n y - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n\right) $$

结合同分母的总和：

$$ y_{\text{next}} = A \cdot D^{n} + 2D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n S' - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n $$

从原始不变式创建一个替代项

看起来方程无法进一步简化，但如果我们重新审视我们的原始不变式：

$$ A \cdot n (S' + y) + D = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y $$

我们可以求解 $A \cdot D^{n}$，得到：

$$ A \cdot n (S' + y) + D - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y = A \cdot D^{n} $$

$$ A \cdot D^{n} = -D^{n+1} \cdot n P' \cdot y + A \cdot n (S' + y) + D $$

然后，如果我们将 $A \cdot D^{n}$ 代入我们计算 $y_{\text{next}}$ 的最新公式的分子中，我们得到：

$$ y_{\text{next}} = A \cdot D^{n} + 2D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n S' - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n $$

$$ y_{\text{next}} = \left(-D^{n+1} \cdot n P' \cdot y + A \cdot n (S' + y) + D\right) + 2D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n S' - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n $$

许多项发生相消：

$$ y_{\text{next}} = -D^{n+1} \cdot n P' \cdot y + A \cdot n S' + A \cdot n y + D + 2D^{n+1} \cdot n P' \cdot y - A \cdot n S' - D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 - A \cdot n $$

我们剩下的就是一个更小的方程：

$$ y_{\text{next}} = A \cdot n y + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y \cdot \frac{D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 + A \cdot n}{D^{n+1} \cdot n P'} $$

我们将上下同时乘以 $y^{A \cdot n}$：

$$ y_{\text{next}} = \frac{(A \cdot n y + D^{n+1} \cdot n P')y^{A \cdot n}}{(D^{n+1} \cdot n P' \cdot y^2 + A \cdot n)y^{A \cdot n}} $$

回到我们的不变式，我们可以求解分母中的分数项：

$$ A \cdot n (S' + y) + D = A \cdot D^{n} + D^{n+1} \cdot n P' \cdot y $$

$$ D^{n+1} \cdot n P' \cdot y = A \cdot n (S' + y) + D - A \cdot D^{n} $$

然后我们可以将其代入 $y_{\text{next}}$ 的公式中：

$$ y_{\text{next}} = y^2 + D^{n+1} \cdot n P' \cdot A n \cdot (S' + y) + D - A \cdot D^{n} $$

然后我们可以将 $1/A_n$ 分配并简化分母：

$$ y_{\text{next}} = y^2 + D^{n+1} \cdot n P' \cdot A n (S' + y + D - A)/A_n $$

简化分母，去掉括号并将两个 y 相加：

$$ y_{\text{next}} = y^2 + D^{n+1} \cdot n P' \cdot A n/2y + S' + D/A_n - A $$

在原始代码中，Curve 定义了额外的变量：

$$ c = D^{n+1} \cdot n P' \cdot A n \ b = S' + D/A_n $$

替代到 $y_{\text{next}}$ 的公式中，我们得到：

$$ y_{\text{next}} = y^2 + D^{n+1} \cdot n P' \cdot A n/2y + S' + D/A_n - A $$

与原始源代码的比较

这与 Curve 代码完全匹配，请参阅下方紫色框：

Ann 和 Anⁿ 之间的不匹配

让人困惑的是，Curve 白皮书使用不变式 Ann，但代码库使用的是 Ann。也就是说，代码库似乎在计算 $A \cdot n \cdot n$ 而不是 $A \cdot n^{n}$。这种差异的原因是，代码库将 A 存储为 $A \cdot n - 1$。由于 n 部署时是固定的，预先计算 $n^{n-1}$ 使代码能够避免在链上计算指数，这是一个更昂贵的操作。

总结

Curve 的核心不变式不允许通过符号方法求解变量 D 或 $x_i$。相反，这些项必须通过数值方法来解决。

这次活动的一个启示是，良好的代数操作是一种非常有效的 Gas优化 技术。Curve 开发者能够计算出比直接代入 $f$ 和它的导数相对更小的 Newton 方法公式。

引用与致谢

撰写本文时参考了以下资源：

StableSwap — 稳定币流动性高效机制，Michael Egorov, <https://resources.curve.fi/pdf/curve-stableswap.pdf>

理解 Curve AMM，第一部分：StableSwap 不变式，Atul Agarwal <https://atulagarwal.dev/posts/curveamm/stableswap/>

Curve Finance Discord, “chanho”

<https://discord.com/channels/729808684359876718/729812922649542758/1126630568004698132>

Curve – 代码解析 – get_y() | DeFi, 智能合约程序员 <https://www.youtube.com/watch?v=jAhKbxoeskQ>

• 原文链接： rareskills.io/post/curve...
• 登链社区 AI 助手，为大家转译优秀英文文章，如有翻译不通的地方，还请包涵～