深入理解 yETH：帶權重的穩定兌換池是如何煉成的

yETH 是 Yearn Finance 推出的加權穩定兌換池。它在 Curve StableSwap 的經典公式基礎上，引入了代幣權重，使得池中不同資產可以擁有不同的目標配比。本文從 Curve 的公式推導出發，一步步推演 yETH 如何將其泛化為帶權重的版本。

一、從兩條基本曲線說起

在 AMM 的世界裡，有兩條最基礎的兌換曲線：

恆定和（Constant Sum）

$$ \sum x_i = D $$

代幣之間按固定比例 1:1 兌換，兌換曲線是一條直線。優勢是對於錨定資產（如 USDT/USDC、ETH/stETH）價格極好，在整條曲線上都是零滑點。缺陷也很明顯——當池子嚴重失衡時，完全沒有滑點保護，LP 可能被套利一空。

恆定乘積（Constant Product）

$$ \prod x_i = K = \left(\frac{D}{n}\right)^n $$

這是 Uniswap V2 採用的模型，兌換曲線是 $xy = k$ 的雙曲線。任何交易都會產生滑點，天然保護了池子的流動性。但缺陷是在均衡點附近價格變化也很大，不適合用來兌換錨定資產。

一個直覺：能不能把這兩條曲線「揉」在一起？ 在均衡點附近像恆定和一樣低滑點，偏離均衡時像恆定乘積一樣有保護。

二、Curve StableSwap：兩條曲線的融合

Curve 的核心思路就是找到一個動態放大係數 $\chi$，把恆定和與恆定乘積按比例混合：

• 當 $\chi \to +\infty$ 時，恆定和主導 → 低滑點
• 當 $\chi = 0$ 時，恆定乘積主導 → 強保護

統一量綱

注意到恆定和中 $D$ 是 1 次方，恆定乘積中 $D$ 是 $n$ 次方，兩者相差 $D^{n-1}$。因此實際的放大比例應為 $\chi D^{n-1}$，這樣才能讓兩部分在量綱上對齊。

先對恆定和等式兩邊乘上 $\chi D^{n-1}$：

$$ \chi D^{n-1} \sum x_i = \chi D^n $$

再把恆定乘積加到左邊、右邊分別補上：

$$ \chi D^{n-1}\sum x_i + \prod x_i = \chi D^n + \left(\frac{D}{n}\right)^n $$

2.2 定義動態放大係數

$\chi$ 不能是固定常數——它需要隨池子狀態動態調整：

• 均衡點（所有代幣等量）：$\chi = A$（一個可配置的放大常數）
• 偏離均衡：$\chi \to 0$，讓恆定乘積逐漸接管

滿足這兩個條件的自然定義是：

$$ \chi = A \cdot \frac{\prod x_i}{\left(\frac{D}{n}\right)^n} $$

在均衡點，$\prod x_i$ 恰好等於 $\left(\frac{D}{n}\right)^n$，所以 $\chi = A$；偏離均衡時，$\prod x_i$ 相對下降，$\chi$ 自動趨向 0。

代入並化簡，就得到了著名的 Curve StableSwap 不變量：

$$ An^n\sum x_i + D = An^nD + \frac{D^{n+1}}{n^n\prod x_i} $$

三、yETH 的創新：引入代幣權重

3.1 Curve 的局限

Curve 的公式假設池中每一個代幣的權重是一樣的——在均衡點，所有代幣的數量相等。但現實中，很多場景需要不對稱的配比。例如 Balancer 的 Weighted Pool 就允許 80/20 這樣的權重分配。

yETH 的核心問題：能不能把代幣權重引入 Curve 的穩定曲線？

3.2 帶權重的基礎方程

引入權重 $w_i$（$\sum w_i = 1$），兩條基礎曲線改寫為：

$$ \sum x_i = D $$

$$ \prod x_i^{w_i \cdot n} = \left(\frac{D}{f}\right)^n $$

其中定義：

$$ \frac{1}{f} = \prod w_i^{w_i}, \quad v_i = w_i \cdot n $$

3.3 均衡點的含義

$D$ 仍然代表「所有代幣按等價折算後的總量」。不同的是，在帶權重的均衡點，每個代幣的數量不再相等，而是按權重分配：

$$ x_i = D \cdot w_i $$

驗證一下這個定義的自洽性：

恆定和：

$$ \sum x_i = \sum D \cdot w_i = D \cdot \sum w_i = D \quad \checkmark $$

加權恆定乘積：

$$ \prod x_i^{w_i \cdot n} = \prod (D \cdot w_i)^{w_i \cdot n} $$

$$ = \left(\prod w_i^{w_i} \cdot D^{w_i}\right)^n = \left(\prod w_i^{w_i} \cdot D^{\sum w_i}\right)^n = \left(D \prod w_i^{w_i}\right)^n = \left(\frac{D}{f}\right)^n \quad \checkmark $$

帶權重的放大係數

同樣的思路，定義動態放大係數 $\chi$：

$$ \chi = A \cdot \frac{\prod x_i^{v_i}}{\left(\frac{D}{f}\right)^n} $$

它仍然滿足：均衡點時 $\chi = A$，偏離均衡時 $\chi \to 0$。

組合成完整不變量

乘上 $\chi D^{n-1}$ 並加入加權恆定乘積：

$$ \chi D^{n-1}\sum x_i + \prod x_i^{v_i} = \chi D^n + \left(\frac{D}{f}\right)^n $$

代入 $\chi$ 的定義：

$$ A \cdot \frac{\prod x_i^{v_i}}{\left(\frac{D}{f}\right)^n} \cdot D^{n-1}\sum x_i + \prod x_i^{v_i} = A \cdot \frac{\prod x_i^{v_i}}{\left(\frac{D}{f}\right)^n} \cdot D^n + \left(\frac{D}{f}\right)^n $$

兩邊同除以 $\prod x_i^{v_i}$，再乘以 $D$，化簡得到 yETH 的最終不變量方程：

$$ \boxed{Af^n \sum x_i + D = Af^n D + \frac{D^{n+1}}{f^n \prod x_i^{v_i}}} $$

四、與 Curve 的統一

當所有權重相等時（$w_i = 1/n$）：

$$ f = \frac{1}{\prod w_i^{w_i}} = \frac{1}{\prod (1/n)^{1/n}} = \frac{1}{(1/n)} = n $$

$$ v_i = w_i \cdot n = 1, \quad \prod x_i^{v_i} = \prod x_i $$

代入 yETH 公式：

$$ An^n \sum x_i + D = An^n D + \frac{D^{n+1}}{n^n \prod x_i} $$

這正是 Curve 的標準 StableSwap 不變量。yETH 是 Curve 的嚴格泛化。

五、合約中的實現要點

在 yETH 的 Vyper 合約中，有幾個值得注意的實現細節：

1. 存儲的放大係數是 $Af^n$

合約中的 amplification 變量存儲的不是 $A$，而是 $A \cdot f^n$。這樣在計算時可以直接使用，避免每次都要計算 $f^n$。

2. product term（$\pi$）的定義

合約中的 vb_prod 存儲的是：

$$ \pi = \prod \left(\frac{w_i \cdot D}{x_i}\right)^{w_i \cdot n} $$

這等價於 $\frac{(D/f)^n}{\prod x_i^{v_i}}$，在均衡點時 $\pi = 1$。

3. 迭代求解 D

將不變量方程改寫為迭代形式：

$$ D_{m+1} = \frac{Af^n \cdot \sigma - D_m \cdot \pi_m}{Af^n - 1} $$

其中 $\sigma = \sum x_i$ 為 sum term，$\pi$ 為 product term。每次迭代同時更新 $\pi$（因為 $\pi$ 中包含 $D$）。

總結

yETH 本質上是 Curve StableSwap 的一個自然推廣——把「等權」泛化為「帶權」，數學結構完全一致，只是用 $f$ 替換了 $n$，用 $\prod x_i^{v_i}$ 替換了 $\prod x_i$。