密码学 - 环与域

  • Cyfrin
  • 发布于 2025-08-08 16:24
  • 阅读 189

本文介绍了环和域这两个代数结构,它们都具有两个二元运算,通常称为加法和乘法。环是在加法下构成阿贝尔群,乘法下满足封闭性和结合律,且乘法对加法满足分配律的集合。域则是在加法和乘法下都构成阿贝尔群,且乘法对加法满足分配律的集合。

Ciara Nightingale

ZK 数学 101:环和域

学习代数结构环和域如何在密码学中使用,以及为什么它们对于理解零知识证明背后的数学是必要的。 "F 是一个超多项式大小的素域 ‍PLONK:用于普适非交互式知识论证的基于拉格朗日基的排列(2019) ‍ 在本文中,我们将最终了解什么是“”。 在前一篇文章中,我们介绍了群论。我们将群定义为一个集合,当配备一个二元运算符时,满足四个特定属性:封闭性,它具有单位元素,每个元素都有,并且运算符是结合律。这组成了首字母缩略词 Cyfrin Is Incredibly Awesome”。 此外,我们将 阿贝尔群 定义为也具有 交换律 属性的群。 在本文中,我们将扩展这些知识来定义 两个新的代数结构

这些结构用于密码学,了解它们是什么以及它们的属性对于理解零知识证明和许多密码学方法背后的数学是必要的。 这些新结构与群之间的关键区别在于,我们将考虑配备单个二元运算符的集合,而不是考虑集合在 两个 二元 运算符 下的行为。 ‍

预 requisites

本文是零知识证明数学文章系列的一部分。在阅读本文之前,我们建议你阅读本系列的前三篇:

什么是环?

环是一个集合 R 配备了两个二元运算符,通常称为加法 (+) 和乘法 (⋅),它们满足以下条件:

  • 运算符 1 - 加法 (+):首先,让我们考虑集合在加法下的行为方式。在加法下,集合 R 必须形成一个 阿贝尔群。记住 Cyfrin Is Incredibly Awesome 首字母缩略词?我们需要这些属性加上交换律才能成为阿贝尔群: ‍

    • 封闭性:对于任何 a,b∈R,和 a+b 也在 R 中。 ‍
    • 结合律:对于所有: ‍
      (a+b)+c=a+(b+c).
    • (加法)单位元:存在一个元素 0∈R,使得对于所有 a∈R: ‍
      a+0=a.
    • 这意味着将 0 添加到任何元素都不会改变该元素。 ‍
    • (加法)逆元:对于每个 a∈R,存在一个元素 −a∈R,使得: ‍
      a+(−a)=0.
    • 交换律:对于所有 a,b∈R: ‍
      a+b=b+a.
  • 运算符 2 - 乘法 (⋅):现在,在乘法下,集合 R 必须满足以下属性才能形成一个环

    • 封闭性:对于任何 a,b∈R,积 a⋅b 也在 R 中。 ‍
    • 结合律:对于所有 a,b,c∈R: ‍
      (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c).
  • 运算符 1 & 2 - 分配律:最后,让我们考虑一下集合在 两个 运算符下的行为方式。为了形成一个环,乘法必须对加法具有分配律: ‍

    • 左分配律:当你将单个元素乘以两个元素的和时,结果与你首先将单个元素分别乘以两个元素,然后再将这些乘积相加的结果相同。 ‍
    • 形式上,对于所有 a,b,c∈R: ‍
      a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c).
    • 右分配律:当你将两个元素的和乘以单个元素时,结果与你首先将两个元素分别乘以单个元素,然后再将这些乘积相加的结果相同。 ‍
    • 形式上,对于所有 a,b,c∈R: ‍
      (a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c).

补充说明:

  • 环不一定具有乘法单位元(即,对于所有 a∈R,存在一个元素 I 使得 a⋅I=a),但如果它有,则称为 带单位元的环有单位环。 ‍
  • 环的乘法要求是交换的。如果乘法是交换的(即,对于所有 a,b∈R,a⋅b=b⋅a),则该环称为 交换环(哇,不会吧!抱歉,又是英国式的讽刺)。

什么是域?

域是一个集合,它在两个不同的二元运算符下形成一个阿贝尔群。它是一种特定类型的环,在第二个运算符下满足附加属性。 形式上,域是一个集合 F 配备了两个二元运算符,通常称为加法 (+) 和乘法 (⋅),它们满足以下代数性质:

  • 运算符 1 - 加法 (+):在加法下,具有此运算的集合 F 形成一个 阿贝尔群: ‍

    • 封闭性:对于任何 a,b∈F,和 a+b 也在 F 中。 ‍
    • 结合律:对于所有 a,b,c∈F: ‍
      (a+b)+c=a+(b+c).
    • 交换律:对于所有 a,b∈F: ‍
      a+b=b+a.
    • 单位元:存在一个元素 0∈F,使得对于所有 a∈F: ‍
      a+0=a.
    • 逆元:对于每个 a∈F,存在一个元素 −a∈F,使得: ‍
      a+(−a)=0.
  • 运算符 2 - 乘法 ():在乘法下,集合 F∖{0}(集合 F 排除加法单位元 0)形成一个 阿贝尔群: ‍

    • 封闭性:对于任何 a,b∈F,积 a⋅b 也在 F 中。 ‍
    • 结合律:对于所有 a,b,c∈F: ‍
      (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c).
    • 交换律:对于所有 a,b∈F:
    a⋅b=b⋅a.
    • 乘法单位元:存在一个元素 1∈F∖{0},使得对于所有 a∈F: ‍
      a⋅1=a.
    • 乘法逆元:对于每个 a∈F∖{0},存在一个元素 a−1∈F∖{0},使得: ‍
      a⋅a−1=1.

      记住,当考虑模素数 p 的整数的有限集合(不包括 0,表示为 𝕡Zp∗)时,我们可以使用费马小定理来找到乘法逆元。

  • 运算符 1 & 2 - 分配律: ‍

    • 左分配律:对于所有 a,b,c∈F,(a⋅(b+c))=(a⋅b)+(a⋅c)。 ‍
    • 右分配律:对于所有 a,b,c∈F,(a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)。

让我们看一些例子来了解如何识别一个域。 ‍

域的例子和有限域

在加法和乘法下形成域的集合的例子:

  • 模 p 的整数集合(其中 p 是素数)在加法和乘法下形成 一个有限域(它是一个集合具有有限数量元素的域)。 ‍
    • 虽然 Fp 包括零,但非零元素的 乘法群 Fp∗={1,2,…,p−1} 在模 p 的乘法下形成一个群,因为每个非零元素都有一个乘法逆元。 ‍
    • 在本系列中,你会经常听到 有限域 这个术语,因此请确保你对它的含义感到满意! ‍
    • 你可能还记得,在密码学和零知识证明协议中,我们经常使用模 p 的整数集合,其中 p 是素数。所以现在你将理解这是因为这个集合形成了一个有限域! ‍
  • 实数集合 R 在加法和乘法运算下是一个无限域。

一个在加法和乘法下形成域的集合的例子:

  • 模 n 的整数集合(其中 n 不是素数,例如 4)在加法和乘法下不是一个域。 ‍
    • 这是因为在乘法下,它不形成一个群,因为不是每个元素都有一个逆元。例如,对于模 4 的整数集合,元素 2 没有乘法逆元。

接下来是什么?

在本系列的下一部分,我们将探讨 循环群生成点 - 可以通过重复运算创建群中每个其他元素的特殊元素。我们还将研究 离散对数问题 (DLP),这是一个计算上困难的问题,为椭圆曲线密码学和零知识证明系统提供安全保障。 ‍

总结

本文定义了两种新的代数结构,称为环和域。这些结构考虑了具有 两个 二元运算符的集合,通常称为加法和乘法: ‍

  1. :一个集合 R,它: ‍
    • 加法下形成一个 阿贝尔群
    • 乘法下是封闭的和结合的 ‍
    • 乘法对加法具有分配律(左右都满足) ‍
  2. :一个集合 F,它: ‍
    • 加法下形成一个 阿贝尔群
    • 乘法下形成一个 阿贝尔群
    • 乘法对加法具有分配律(左右都满足)

脚注

*为什么我们将这两个运算符称为 “通常” 称为乘法和加法? 域中的术语“加法”和“乘法”是指遵循某些公理(交换律、结合律、分配律等)的运算的抽象概念。我们使用这些熟悉的名称是因为:

  1. 这些运算在数学上的行为类似于加法和乘法,并且遵循相同的规则。 ‍
  2. 在像有理数这样的简单情况下,它们实际上就是熟悉的运算。

参考文献

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  • 原文链接: cyfrin.io/blog/zk-math-1...
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