1

P vs NP 及其在零知识证明中的应用

RareSkills 的 Zero Knowledge Proofs 系列文章之《P vs NP 及其在零知识证明中的应用》。

2

ZK的算术电路

文章介绍了在零知识证明中使用的算术电路（Arithmetic Circuits）与布尔电路（Boolean Circuits）的对比，并展示了如何将算术电路用于求解NP问题。文章详细解释了算术电路的原理、实现方法，并提供了多个具体示例，如三色图问题和排序列表问题。

3

用于零知识证明的有限域与模运算

本文详细介绍了有限域在零知识证明电路中的应用，包括有限域的定义、模运算、加法逆元、乘法逆元等概念，并通过代码示例展示了如何在Python中实现这些操作。

4

为程序员准备的基础集合论

RareSkills 的 Zero Knowledge Proofs 系列文章之一，介绍了集合论的基础知识。翻译的过程中完成了其中的练习题。

5

抽象代数

本文介绍了抽象代数中的基本概念，如群、半群和幺半群，并解释了它们在零知识证明中的应用。

6

程序员的基本群论

本文详细介绍了代数群的基本概念，通过多个例子帮助读者建立对群的直觉，包括群的定义、阿贝尔群、有限群、循环群等，并探讨了这些群在零知识证明中的应用。

7

同态映射

本文通过多个例子详细解释了同态映射的概念，并探讨了其在加密技术和零知识证明中的应用。文章结构清晰，分为简单和复杂例子两部分，并附有详细的数学公式和Python代码示例。

8

椭圆曲线点加法

本文详细介绍了椭圆曲线加法在实数域上的工作原理，通过群论的角度解释了椭圆曲线点的加法操作，并展示了如何在椭圆曲线上进行点加法的具体公式和几何解释。文章还包括了代码示例和数学公式，深入探讨了椭圆曲线的代数性质。

9

有限域上的椭圆曲线

文章详细介绍了有限域上的椭圆曲线，包括它们的绘制、数学性质以及在密码学中的应用。通过多个示例和代码，展示了如何生成和操作这些曲线，并解释了其与有限域的循环群特性。

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Python、Solidity 和 EVM 中的双线性配对(Bilinear Pairings)

这篇文章深入探讨了双线性映射（bilinear pairings）的原理及其在密码学中的应用，特别是在验证乘积的离散对数时。

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将代数电路转换为R1CS（一阶约束系统）

文章详细介绍了如何将一组算术约束转换为Rank One Constraint System (R1CS)，涵盖了转换中的优化和Circom库的实现方法。

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从R1CS构建零知识证明

文章详细介绍了如何通过将Rank 1 Constraint System (R1CS)中的见证向量转换为有限域椭圆曲线点，并使用双线性配对来实现零知识证明。文中还讨论了验证步骤的实现细节，并指出了该算法在实际应用中的低效性。

13

使用Python实现拉格朗日插值

介绍了拉格朗日插值法，通过一组点计算一个经过这些点的多项式，并提供了Python代码示例。

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Schwartz-Zippel 引理及其在零知识证明中的应用

文章详细介绍了Schwartz-Zippel Lemma在零知识证明（ZK-Proof）中的应用，通过多项式例子和Python代码展示了如何利用该引理进行多项式相等性测试和向量相等性测试。

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二次算术程序

文章详细介绍了二次算术程序（QAP）的概念及其在零知识证明中的应用，特别是如何通过拉格朗日插值将Rank 1约束系统（R1CS）转换为QAP，并通过Schwartz-Zippel引理在O(1)时间内验证QAP的等式。

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在Python中将R1CS转换为有限域上的二次算术程序

本文详细介绍了如何将R1CS（Rank 1 Constraint System）转换为QAP（Quadratic Arithmetic Program），并通过Python代码演示了实现过程，包括有限域算术、多项式插值等关键步骤。

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可信设置

文章介绍了ZK-SNARKs中使用的可信设置机制，详细解释了如何在保密值上计算多项式，并提供了Python代码示例。

18

在可信设置中评估和二次算术程序

本文详细介绍了如何在可信设置的基础上评估二次算术程序（QAP），并解释了如何在不泄露证据的情况下证明QAP的满足性，使用恒定大小的证明。同时还涉及了R1CS、椭圆曲线配对等技术的详细实现。

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Groth16 详解

本文详细介绍了Groth16零知识证明算法的原理、实现及其应用，包括可信设置、证明生成和验证的步骤，并讨论了防止伪造证明的方法以及算法中的安全问题。

20

BulletProofs 详解

该文章深入探讨了Zero Knowledge Bulletproofs的概念，详细介绍了其原理、实现及应用。文章结构清晰，搭配丰富的数学公式和代码块，适合希望了解零知识证明的开发者和研究者。

21

什么是Pedersen承诺及其工作原理

Pedersen承诺是一种密码学技术，允许在不暴露向量内容的情况下对其进行编码，广泛应用于零知识证明和区块链技术中。本文深入探讨了Pedersen承诺的原理、构建、优点和应用，包括对内部乘积和矢量承诺的解释，适合对密码学有一定了解的读者。

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多项式承诺通过 Pedersen 承诺实现

本文详细介绍了多项式承诺机制的原理和实现，特别是如何使用Pedersen承诺和椭圆曲线来验证多项式在特定点的估值，而不泄露多项式本身。文章还讨论了验证步骤的工作原理和为什么验证者无法被欺骗。

23

零知识乘法

文章详细介绍了如何使用多项式承诺方案在零知识证明中验证多项式乘法的正确性，包括算法步骤和优化方法，并附有代码实现。

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内积的零知识证明

本文详细介绍了如何在零知识证明中构造内积证明，通过向量多项式和内积计算，展示了如何在不泄露原始数据的情况下证明内积计算的正确性。文章还提供了相关算法的具体实现步骤，并指出如何进一步优化证明大小。

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向量承诺的简洁证明

文章介绍了如何在不发送整个向量的情况下，证明已知 Pedersen 向量承诺的开启，并详细描述了算法的实现和安全问题。

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对数大小的承诺证明

本文详细阐述了如何在零知识证明（ZKP）中通过递归折叠的方法，减少向验证者传输的数据量，从而高效地证明内积和向量的承诺。文章包括算法的详细描述、数学推导和代码实现。

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内积代数

文章介绍了在推导范围证明和编码电路时，内积运算的一些有用代数技巧，并提供了每个规则的简单证明。

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通过随机线性组合减少等式检查（约束）的数量

本文深入探讨了如何在零知识证明算法中利用随机线性组合来有效地检查多个等式的相等性。通过实例展示了Pedersen承诺的等式验证过程，并提出了一种减少通信开销的方法。这种技术能够实现对多个内积同时进行验证，从而提高效率。

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范围证明

本文详细介绍了Bulletproofs在范围证明中的构建方法，通过验证向量aL的二值性和其与向量2n的内积来证明标量v的范围在2^n内。文章还展示了几种代数技巧，并通过Monero的使用实例说明了该技术的应用。