群论

本文详细介绍了椭圆曲线加法在实数域上的工作原理，通过群论的角度解释了椭圆曲线点的加法操作，并展示了如何在椭圆曲线上进行点加法的具体公式和几何解释。文章还包括了代码示例和数学公式，深入探讨了椭圆曲线的代数性质。

本文通过多个例子详细解释了同态映射的概念，并探讨了其在加密技术和零知识证明中的应用。文章结构清晰，分为简单和复杂例子两部分，并附有详细的数学公式和Python代码示例。

本文深入探讨了群论中的子群、生成元和本原元素的概念。首先从加法群入手，例如 Z6 和 Z9， 然后转向乘法群，例如 Z7 和 Z11。通过具体的例子和 Python 代码，展示了如何识别子群，找到生成元，并计算模逆。文章还介绍了本原元素的概念，并提供了在 Zp* 中寻找本原元素的 Python 代码。

本文介绍了抽象代数中的基本概念，如群、半群和 Monoid ，并解释了它们在零知识证明中的应用。

本文是关于Circle STARKs中Circle FFT算法的系列文章的第一部分，主要介绍了构建圆形域的基础概念，包括STARK友好的素数演变、圆曲线、群结构、孪生陪集和标准位置陪集等，并给出了详细的示例和推导。文章还提供了Python代码示例，帮助读者理解和实践这些概念，为后续深入研究Circle FFT算法奠定基础。

本文介绍了椭圆曲线在密码学中的应用，解释了椭圆曲线如何通过特定的群操作（如弦切线规则）形成密码学所需的数学结构。文章详细讨论了椭圆曲线群的定义、有限域上的点运算、群单位元的引入以及点加倍操作，并指出这些数学结构为加密和数字签名提供了难以破解的难题基础。