一系列关于零知识证明（ZKP）和相关密码学技术的文章，涵盖了Sumcheck协议、多线性扩展、HyperPlonk、形式化验证框架、Σ协议、Circle STARKs、FRI、Bulletproofs、LaBRADOR等多个主题。文章旨在帮助读者深入理解这些协议的原理、实现和应用，并提供SageMath实现和练习。

本文深入探讨了FRI协议的安全性，FRI协议是许多SNARKs的关键组成部分，通过分析FRI协议中的“折叠”操作，解释了为什么FRI协议能够保证证明者的初始信息接近Reed-Solomon码字。文章还介绍了“prover message graph”这一分析工具，并讨论了与零知识证明相关的研究方向。

本文深入解析了 Bulletproofs 背后的数学引擎——Inner Product Argument (IPA) 的工作原理，通过逐步拆解并结合可运行的 SageMath 代码，详细解释了 IPA 协议的核心概念，包括向量折叠、L 和 R 交叉项的生成与作用，以及如何通过 Pedersen 承诺来防止欺诈，还讨论了优化验证过程的方法，最终构建了一个完整的内积参数。

本文深入探讨了 Bulletproofs 背后的数学引擎——内部乘积论证（IPA），通过 SageMath 代码逐步解析其工作原理，包括向量折叠、L 和 R 交叉项的生成与校验，以及如何利用 Pedersen 承诺防止欺诈，最后优化验证过程，用单次多标量乘法替代多次折叠。文章旨在帮助读者理解零知识证明技术。

本文介绍了Bulletproofs协议，该协议允许在不依赖可信设置的情况下生成零知识证明，主要用于验证内积的计算。Bulletproofs通过将输入隐藏在承诺中来压缩证明，并通过多轮交互和规约，最终将问题简化为验证单个元素的内积，从而实现高效的零知识证明。

一篇关于 Sumcheck、Multilinear Extensions 和 HyperPlonk 的交互式教程，提供完整的 SageMath 实现和练习。通过自己实现这些协议，更深入地理解它们的工作原理。

该文章集合了多篇关于零知识证明(ZKP)和相关密码学技术的教程和分析。主题涵盖Sumcheck协议优化、算术电路的形式验证框架比较、Σ协议、Circle STARKs、Bulletproofs、FRI安全原理、Circom的常见陷阱、以及Data Availability Sampling等。重点在于提升性能、安全性和理解底层原理。

本文详细介绍了如何利用时间侧信道攻击破解密码系统，通过模块化指数运算中的平方-乘算法，揭示了密钥比特为1时额外的乘法操作导致的时间差异。文章通过逐步实现的案例，从理想化的指令成本模型到实际系统中的噪声挑战，再到工程解决方案，展示了实际攻击中克服噪声、提取关键信息的技术，强调了防御方需要采用恒定时间实现、盲化等措施来防止信息泄露。

本文是关于Sumcheck、Multilinear Extensions和HyperPlonk的交互式教程，包含完整的SageMath实现和练习，通过自己实现这些协议来理解它们是如何工作的。

本文深入探讨了Circle FFT（快速傅里叶变换），详细阐述了其与经典Cooley-Tukey FFT的结构相似性，并着重分析了在圆曲线上的多项式空间与Circle FFT基所张成的空间之间的维度差异。Circle FFT通过投影映射和平方映射的组合，实现了在twin-coset上的高效插值，为构建Circle STARKs奠定了基础。