在自动化市场做市商（AMM）中，有两种类型的参与者：交易者，他们用 AMM 的一种代币交换另一种代币（在这个运行示例中，我们假设是 ETH 和 USDC）；以及流动性提供者（LP），他们最初向 AMM 提供代币，通常是以交换交易费用的一部分。
作为 LP 参与具有经济意义的时机是什么？带来的好处何时超过成本？比较的收益方面很容易理解：来自共享交易费用的收入，此外在某些情况下还有额外的代币奖励。本文总结了一种新的思考成本方面的方法，中心是一个我们称之为 LVR（“损失对再平衡”，发音为“lever”）的量。我们将进一步讨论 LVR 及其对 LP 和 AMM 设计的影响，但首先让我们回顾一下 AMM 在市场价格演变时的表现。
AMM 中的套利和逆向选择
自动化市场做市商中的流动性提供者遭受来自逆向选择的损失，这是作为 LP 开展业务的一部分成本。由于以给定价格承接交易的买入或卖出，AMM 中的每个 LP 都面临着由于拥有更好或近期市场价格信息的交易者而导致的交易风险。例如，如果 ETH 在公开市场上的价格突然上涨，则快速的套利者可能会从 AMM 以较低的滞后价格购买 ETH，然后在像 Binance 这样的中心化交易所以新的更高市场价格转售，从中获利。由于 AMM 只有两种类型的参与者，交易者的利润必须对应于 LP 的损失。
为了解流动性提供的成本，从而为 LP 参与的决策和 AMM 设计提供信息，让我们先从评估过去的简单问题开始。假设我们刚刚完成向 ETH-USDC AMM 提供流动性。事后看来，这是一个好主意吗？假设我们向 AMM 存入了 1 ETH 和 1000 USDC，并在撤回时获得了 0.5 ETH 和 2000 USDC。（在大多数 AMM 中，你获得的回报可能与你存入的不同，这取决于在此期间 AMM 的代币市场价格的变化。）进一步假设这是 ETH 的一个非常好的月份，市场价格在一个月内从 1000 美元飙升到 4000 美元。在这种情况下，提供流动性的决策将使你的资金从 2000 美元的存款组合翻倍至 4000 美元的提款组合。
这似乎是一个很好的举动，但这是一种粗糙的思维方式。向 AMM 提供流动性涉及在一个月内持有一定数量的 ETH。考虑到 ETH 的价格在该月内翻了四倍，几乎任何涉及持有某些 ETH 的策略在事后看来都会显得相当不错。
更尖锐、更重要的问题是：AMM 流动性提供的特定策略与所有其他“做多 ETH”的方式相比如何？换句话说，剔除 ETH 价格演变所导致的利润（或损失）后，这个决定如何看待？
对 ETH 价格上涨的最简单投注方式是——等一下——买入一些 ETH 并持有它。在我们运行的示例中，该策略将导致月末组合（仍然是 1 ETH 和 1000 USDC，但现在 ETH 的价格为 4000 美元）价值 5000 美元，比从 AMM 中撤出的金额多出 1000 美元。这 1000 美元的差距是常常被称为“无常损失”或“发散损失”的一个例子。
无常损失的问题
虽然无常损失至少将 LP 的利润与在参考策略下可能获得的收益进行了比较，但它未能孤立出 AMM LP 所面临的逆向选择成本。为了看到这一点，让我们改变我们的例子，使得 ETH 的价格在月初和月末都为 1000 美元。在这种情况下，在大多数 AMM 中，你会得到与初始存款相同的代币组合（实际上是持有），这意味着无常损失将为零。这种情况无论 ETH 价格在一个月内保持不变还是在波动后回到 1000 美元都是如此。
无常损失对价格轨迹的独立性（仅初始值和最终值之外）应该让你感到可疑。例如，我们已经讨论过 AMM 的套利，交易者通过 LP 盈利。因此，LP 的成本似乎应该与 AMM 的套利机会数量成正比。而且，如果价格保持不变（没有套利），与如果价格波动较大（大量套利）的机会频率是完全不同的。
引入 LVR
我们提出了一种新的思考 AMM LP 面临的成本的方法，中心是一个我们称之为 LVR（“损失对再平衡”，发音为“lever”）的量。LVR 可以从几个角度解释（这通常是一个定义的好兆头）。我们在这里突出的一种是作为无常损失的替代，采用更合适和细致的参考方法——再平衡。（LVR 的另一种解释是 LP 在适当对冲其市场风险之后所面临的损失。还有一种解释是套利者可以获得的最佳利润。）
再平衡是特定于 AMM 的，因此让我们在常数产量市场做市商（CPMM）的经典特殊情况下引入它，该模型因 Uniswap（v1 和 v2）而闻名。两代币 CPMM 的特殊情况——也称为“x*y=k”曲线——维持两个代币的储备，比如 x 单位 ETH 和 y 单位 USDC。现货价格——一个无限小交易的价格——被定义为 y/x，这样的效果是使两个储备的市场价值相等。（在这个意义上，这种 AMM 有效地实施了再平衡策略。）在实际操作中，现货价格是通过仅允许维持该产品 x*y 的两个代币数量不变的交易而隐式定义的。
LVR 可以在逐笔交易的基础上定义，因此让我们看一下单笔交易。考虑一个拥有 1 ETH 和 1000 USDC 的 CPMM，并假设 ETH 的市场价格从 1000 美元突然跳升至 4000 美元。我们预期某个套利者会以每 ETH 2000 USDC 的有效价格从 CPMM 购买 0.5 ETH，从而保持 x*y 不变，同时将现货价格提升至 2000/0.5=4000 USDC/ETH（并在 2000 美元的价格下平衡两个储备的市场价值）。
这是参考再平衡，起始于与初始组合相同的 1 ETH 和 1000 USDC：复制 CPMM 的交易（意味着卖出 0.5 ETH，正如 CPMM 所做），但以当前市场价格 4000 美元执行（例如在 Binance 上）。因为这一替代策略导致的组合比 CPMM 的组合（5000 美元对 4000 美元）多出 1000 美元，所以我们说这笔交易的 LVR 为 1000 美元。
继续这个例子，假设 ETH 的价格突然跳回 1000 美元。CPMM 将（套利后）立刻返回其原始状态 1 ETH 和 1000 USDC，实际上以每 ETH 2000 USDC 的价格回购同样的 0.5 ETH。再平衡参考策略复制了交易（购买 0.5 ETH），但在市场价格（1000 美元）执行。再平衡策略组合的市场价值现在比 CPMM 高 1500 美元（3500 美元对 2000 美元），第二笔交易为累计 LVR 贡献了额外的 500 美元。
这个计算在直观上令人满意：与无常损失不同，LVR 依赖于价格轨迹（如果价格保持不变，则 LVR 为 0，但如果先上涨后回落，则不为 0），并且按交易逐笔累积（因为每笔交易都可能处于错误的一方，导致额外的逆向选择成本）。
LVR：一般定义
在看到前面的例子后，LVR 的一般定义应该不会让你感到惊讶：给定一个任意 AMM 上的任意交易序列，该序列的 LVR 是通过这个 AMM 执行交易所发生的损失总和。这个和的每一项形式为 a(p – q)，其中 a 表示在交易中出售的 ETH 数量（例如，在我们第一和第二笔交易中，分别是 0.5 和 -0.5），p 表示当时的市场价格（上文为 4000 和 1000），而 q 表示 AMM 交易的单价（上文为 2000 和 2000）。
定义的一个变体是定期再平衡（例如，每小时或每天）而不是逐笔交易，实际上是将交易批处理，并复制每批的净交易。这一变体可以简化 LVR 的实证分析，在上述提到的 LVR 对冲解释中也可以说是更自然的。
关于过去的推理……
LVR 独立出 LP 承受的逆向选择成本。事后看来，提供流动性的决策是好主意吗？从第一阶来看，这个问题归结为所收取的费用是否超出了所遭受的 LVR，因此通常可以使用公开可得的数据轻松回答（例如，AMM 交易的链上记录和 Binance 上的历史价格数据）。
……以及关于未来的推理
为了对未来而不是过去的 LP 决策进行推理，我们不能直接依赖数据，必须采用某种价格演变数学模型。（请记住，LVR 在很大程度上依赖于价格轨迹。）我们可以使用各种不同的模型，但也许最自然的起点是金融中的标准 Black-Scholes 模型，其中 ETH 的价格根据几何布朗运动连续演变（相对于适当的鞅测度）。
如果你对这一模型不熟悉，关键要知道的是，它基本上只有一个重要参数，即价格波动率 σ。如果 σ=0，则价格保持不变，而如果 σ 很大，价格则会剧烈波动。如果你将收益视为随机游走，可以将 σ 粗略地解释为步骤的典型长度。
LVR 在这个模型中可以精确地表征。因为 LVR 逐笔交易累积，而且这是一个持续时间的模型，交易随时发生，LVR 表现得像是瞬时 LVR 的积分。瞬时 LVR 证明与 σ 的平方和当前市场价格呈二次关系，及与该价格的边际流动性呈线性关系。
这种数学特征可能听起来有点令人畏惧，但许多普通 AMM 的 LVR 由一个简单的闭式公式给出。
例如，对于 CPMM，瞬时 LVR 在以 CPMM 的市场价值归一化时，恰好是 σ²/8。代入数字，如果 Uniswap v2 ETH-USDC 池的日波动率为 5%，那么根据我们的模型，LP 日损失 3.125 个基点（年百分点大约为 11%）。费用收入能否弥补这种损失？答案取决于交易费用和交易量。例如，如果该 AMM 收取固定的 30 个基点的交易费，那么只要日交易量大约为 AMM 资产的 10.4%，LP 就能盈亏平衡。如果日波动率为 10%，所需的交易量将是四倍。（请记住，LVR 会与 σ 的平方成比例。）
对 AMM 设计者的影响
LVR 对潜在流动性提供者和 AMM 设计者都很重要。只有当 LP 感到满意时，AMM 才能取得成功，这意味着费用收入需要与 LVR 成比例。
我们工作的一个启示是，因为 LVR 依赖于波动性，而费用收入又依赖于交易量，因此 AMM 应考虑动态费用，根据交易量、波动性或经验观察的 LVR 调整。另一个启示是，AMM 设计者应探索降低 LVR（也因此是减少 LP 所需激励）的措施，例如通过引入一个高质量的定价预言机，以报价更接近市场的价格。下一代 AMM 已经在探索这些及相关的想法，我们迫不及待想要看到结果。
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有关 LVR 的更深入技术分析和讨论，请参见我们的原始论文：“自动化市场做市和损失对再平衡”。此外，这里是 Tim Roughgarden 在SBC’22上关于 LVR 的讲话。
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Jason Milionis 是哥伦比亚大学计算机科学系的博士生，导师是 Christos Papadimitriou 和 Tim Roughgarden。他广泛关注博弈论，特别是与机器学习和去中心化金融（DeFi）的结合。
Ciamac Moallemi 是哥伦比亚大学商学院决策、风险与运营部门的 William von Mueffling 教授。
Tim Roughgarden 是哥伦比亚大学计算机科学教授，数据科学研究所成员，以及 a16z crypto 的研究主管。
Anthony Lee Zhang 是芝加哥大学布斯商学院的金融助理教授。他的研究涵盖银行与金融中介、家庭金融、货币市场、房地产市场以及加密/DeFi 等主题。
编辑：Tim Sullivan @tim_org
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