本文介绍了有限域和多项式的基本概念，特别是有限域上的模运算和多项式的构建。重点讲解了如何使用拉格朗日插值法，通过给定的一组评估点来重构原始多项式，从而实现信息的编码与表示。这些数学工具是构建现代零知识证明系统的基础。

本文介绍了零知识证明（ZKP）领域中的Sum-Check协议，该协议允许证明者向验证者证明一个多元多项式在布尔超立方体上的求和结果，验证者通过多轮交互和挑战来验证结果的正确性。该协议是构建更复杂零知识证明系统的基础，文中还讨论了协议的完整性和可靠性，并对其计算成本进行了简要分析。

本文是关于零知识证明（ZK proofs）系列文章的开篇，旨在以更易于理解的方式介绍这一主题。文章首先解释了零知识证明的概念，即在不泄露任何额外信息的情况下，使某人相信某个陈述是真实的。然后，讨论了如何检验计算的正确性，并介绍了交互式证明系统（IP）及其完整性和可靠性。最后，文章指出零知识是这些证明系统可以具备的一个附加属性，用于保护敏感信息。

本文介绍了在实际应用中使用的椭圆曲线，重点介绍了SECP家族的secp256k1曲线（比特币和以太坊使用），以及Montgomery形式的Curve25519和 Twisted Edwards 形式的Ed25519，最后探讨了配对友好曲线，如BLS12-381，用于以太坊2.0等。文章还提到了寻找满足特定条件的曲线的复杂性，以及复乘法（CM）方法。

本文深入探讨了零知识证明（ZK）在区块链中的应用，涵盖了其基本概念、可验证计算，以及在扩展性、隐私性和混合方法上的应用。文章还介绍了像Mina这样采用独特方式使用ZK技术的区块链项目，强调了ZK技术在推动区块链创新方面的潜力。

本文深入探讨了配对技术的计算方法，重点介绍了米勒算法，该算法通过平方和加法在对数时间内计算配对，并讨论了不同类型的配对（Type 1, 2, 3, 4）及其在密码学中的应用。文章还详细解释了非退化性对于配对的重要性，以及如何通过选择合适的配对类型和曲线来确保配对的有效性。

本文介绍了Polkadot的下一代架构Join-Accumulate Machine (JAM)，它旨在将Polkadot从一个专注于Rollups的区块链网络转变为一个通用的分布式计算平台。JAM通过Services、PVM等概念，实现了并行处理和更灵活的计算模式，为区块链技术带来了新的可能性，允许进行各种任务，例如分散的预言机网络，欺诈检测系统和重型计算。

本文介绍了Polkadot区块链网络中从最初的Parachain插槽拍卖系统到现在的Agile Coretime的演变。最初的拍卖系统存在资源浪费和高成本问题，而Agile Coretime通过引入核心（Core）的概念，允许项目根据实际需求购买验证时间，从而更有效地分配验证资源，并介绍了批量核心时间（Bulk Coretime）和按需核心时间（On-Demand Coretime）两种购买方式。

本文深入探讨了波卡（Polkadot）区块链架构的关键组成部分，包括作为平行链（Parachains）共识基础的Relay链、负责生成区块和提供有效性证明的Collator节点、通过ELVES协议实现的共识验证过程，以及实现链间互操作性的XCM消息传递格式。文章还讨论了波卡如何通过技术创新，构建一个互连区块链生态系统的坚实基础设施。

本文介绍了Polkadot区块链的设计理念和架构，特别是其对Rollup的支持。Polkadot旨在解决传统区块链的状态碎片化和互操作性问题，通过一个极简的Relay Chain和可定制的Rollup（原Parachain）来实现。Rollup的逻辑由Runtime定义，并通过Polkadot SDK和FRAME等工具进行开发，Runtime可以存储在链上，实现无分叉升级。