单位根的平方根

一个数字 的平方根 是指满足 的数。当 的形式为 且 为偶数时，平方根很容易计算：它就是 。这遵循指数的幂法则：

如果我们限制指数为整数，那么 有平方根当且仅当 是偶数。因此， 是 的平方根。

平方根有两个解。例如，4 的整数平方根是 2 和 -2。因此，我们也知道如果 是 的平方根，那么 也是一个平方根。我们可以用代数方法验证这一点：

用指数形式计算数字的平方根的例子

例子 1: 的平方根是什么？

指数是偶数，所以我们可以把指数除以 2。答案是 和 。

例子 2: 的平方根是什么？

因为 被乘以 8，所以 是否为偶数并不重要，因为乘积将是偶数，所以我们知道指数可以除以 2。 的一半是 ，所以答案是 和

例子 3: 的平方根是什么？

同样，我们不需要知道 或 。指数保证是偶数，因为乘以了 2。将指数除以 2，我们得到 ，所以平方根是 和 。

平方根的指数规则

值 有平方根 和 。平方根的指数将是整数，当且仅当 是偶数。

将平方根的指数规则应用于单位根

正如我们已经多次看到的，单位根被写成一个本原单位根的幂。 这是 8 次单位根的乘法子群：

回顾恒等式 。

因为在我们的例子中 ，所以 和 相差 。因此，我们也可以把 8 次单位根写成：

基于平方根的指数规则，只有 omega 的偶数次幂有平方根（在这种情况下，我们认为 0 是偶数）：

我们可以如下计算它们的平方根：

• 或等价于 和
• 或等价于 和
• 或等价于 和
• 或等价于 和

如果我们将 8 次单位根可视化在圆上，我们注意到只有红色子群的成员（偶数次幂，或等价于 的幂）有平方根：

下图显示了每个平方根计算如何产生圆上的两个对立点：

取 k 次单位根的平方根会产生 2k 次单位根 (如果它们存在)

在前面的一章中，我们看到对单位根求平方会使集合的大小减半（假设集合的大小是偶数）。取单位根的平方根会使集合的大小加倍。 例如，考虑由 生成的 8 次单位根，如上所示：

如果我们对每个元素求平方，我们得到集合：

现在，如果我们取这个新集合中每个元素的平方根，我们会得到原始的 8 次单位根，如上节所示：

• 或等价于 和
• 或等价于 和
• 或等价于 和
• 或等价于 和

这不是一个深刻的观察：平方和平方根是相反的运算，所以自然地，平方根应该“撤销”平方所做的事情，反之亦然。

然而，这确实开启了一个优化，我们稍后将利用它。可以重复地对单位根进行平方以缩小集合，执行一些操作，然后使用平方根将结果“提升”回原始集合。我们将在接下来的章节中介绍这些机制，但现在，读者必须完全掌握以下概念：

对 -th 单位根进行平方会将集合减少到 -th 单位根。 取 -th 单位根的平方根会产生 -th 单位根并使集合大小加倍。

总结

• 只有单位根的偶数次幂才有平方根
• 的平方根是 和
• 根据前面的一章，我们知道
• 在圆上可视化平方根。由于平方根总是彼此的加法逆元，因此单位根的平方根位于圆的“相对两侧”。

练习题

1. 设 为本原 4 次单位根。 的平方根是什么？
2. 设 为本原 32 次单位根。 的平方根是什么？
3. 设 为本原 16 次单位根。 的平方根是什么？

• 原文链接： rareskills.io/post/roots...
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