在前几篇文章中，我们确定了在有限域 $\mathbb{F}_q$ 中，如果 $k$ 整除 $q-1$ :
- 存在唯一阶为 $k$ 的子群 – 单位元的 $k$ 次方根。
- *这个子群的生成元 $\omega$ 是一个原始单位元的 $k$ 次方根，由 $\omega=g^{\frac{g-1}{k}}$ 给出，其中 $g$ 是 $\mathbb{F}_q^$ 的生成元。**
- $k$ 是使得 $\omega^k\equiv1$ 成立的最小正整数。
在本文中，我们将探讨 中本原单位根的一个关键性质：只要 是偶数， 就全等于。
动机
在某些应用中，我们希望找到某些 的不同 -th 单位根之间的关系。更准确地说，我们想确定哪些单位根是其他单位根的加法逆元。
在域 中，如果 整除 ，则 -th 单位根可以写成
其中 是一个本原 -th 单位根。
有人可能会问：我们能轻易找到 或 吗？是的，我们可以。让我们采用以下事实，我们稍后将对此进行证明：如果 是偶数，则 。
让我们使用这个事实。由于 与 相同，知道 ，我们有
同样的方法可以用来找 。我们有
这可以被推广为任意 的情况
这建立了 -th 单位根之间的关系。
例如，让我们考虑 8 次单位根，
使用获得的关系，8 次单位根可以写成
为了使这个成立，我们只需要证明 对于任何 成立。让我们现在开始这样做。
在有限域中， 的含义是什么
在 中，符号 表示 的加法逆元，满足 。
例如，在 中，由于 ，我们说 是 的加法逆元，并写作
对于任何有限域 ，由于 ， 的加法逆元总是 ：
让我们现在看一些 的例子。
在 中 的例子
在以下示例中，我们使用生成元 作为乘法群 。由于 是 在 中的加法逆元，我们有：
情况
一个 本原 4 次单位根 是 。
这里， 。
因此，我们得出结论， 对于 。
情况
现在 是一个 本原 8 次单位根。
对于 ，，我们有 。
在 中 的例子
在有限域 中，我们有 。 的加法逆元是：
元素 是乘法群 的一个生成元。galois 库提供了一种方便的方法，可以使用 primitive_element 属性来查找此生成元，如下所示：
import galois
GF = galois.GF(97) # 定义域
GF.primitive_element # 返回 GF(5, order=97)
对于 ，我们得到 为
令 ，我们使用以下 Python 代码计算 ：
result = 28**16 % 97
print(f"28^16 % 97 = {result}") # 输出: 96
因此：
我们得出结论，对于 ， 在 中。
Python 代码
以下 Python 代码检查对于一个域 是否成立。它用于在 中测试 的此属性，以及 。你可以使用 在 中或其他你选择的有效组合来测试它。
import galois
def check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k):
GF = [galois.GF](http://galois.gf/)(q)
if k % 2 != 0:
raise ValueError("k must be even")
omega_half = GF(omega) ** (k // 2)
return omega_half == GF(q-1)
## 示例用法:
q = 17
k = 8
omega = 9
result = check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k)
print(f"对于 ω={omega} 且 k={k}: ω^(k/2) == -1 在 F_{q} 中是 {result}")
数学证明
设 是 的生成元。这等价于表示 是一个 本原 -th 单位根。
设 是有限域 中的一个本原 -th 单位根。我们将证明 。
证明的思路是证明 只能是 或 。我们将排除 是 的可能性，只留下 作为唯一的选项。
证明：
让我们取 的平方。它由下式给出
最后一个等式源于 是一个本原 -th 单位根这一事实。
由于 的平方是 ，也就是说，，那么 只能是 或 ，因为只有 或 等于 。
让我们证明它不能是 。
将 替换为 。这给了我们
由于 是一个本原-th 单位根，使得 的最小正整数 是 。
换句话说，没有小于 的整数 使得 。由于 ， 不能是 。因此，唯一的可能性是 等于 。
总结
- 如果 是有限域中的一个本原 -th 单位根，那么 对于偶数 成立。
- 使用此属性，我们得到 ，或者等价地说， 是 的加法逆元。
下一章将介绍一种可视化方法，使这些要点更容易记住。
